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保型表現の分岐理論 と L-特殊値の数論
研究課題/領域番号：15K04784
2015年04月
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2018年03月
日本学術振興会
科学研究費助成事業 基盤研究(C)
基盤研究(C)
石川 佳弘, 都築 正男, 安田 正大, 高野 啓児
配分額：4680000円
（
直接経費：3600000円
、
間接経費：1080000円
）
フェルマ予想(FLT)の様な数論の問題は, 非常に広範で深い理論を駆使して研究される。FLTの証明をも含み,70年代より数論研究の支柱たり続けている Langlandsプログラムに沿って, 比較的小さい群 U(3)の場合に,その分岐表現 と 付随するL‐/ε‐因子を研究した。方針は, L‐関数を 上の群を対称性にもつ保型形式という"関数"の積分変換で表示し,その積分の分岐因子を ホイタッカー関数を通じて 明示的に研究する。U(3)が実Lie群/p‐進不分岐群の場合から外には,期待通りの性質を持つホイタッカー関数の同定には至らなかった。
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保型表現の分岐成分：局所理論とＬ特殊値
研究課題/領域番号：24540021
2012年04月
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2015年03月
日本学術振興会
科学研究費助成事業 基盤研究(C)
基盤研究(C)
石川 佳弘, 都築 正男, 安田 正大, 高野 啓児, 宮内 通孝
配分額：5070000円
（
直接経費：3900000円
、
間接経費：1170000円
）
フェルマ予想(FLT)の様な数論の問題は, 非常に広範で深い理論を駆使して研究される。FLTの証明をも含み,７０年代より数論研究の支柱たり続けている Langlandsプログラムに沿って, 比較的小さい群 U(3)の場合に,その分岐表現 と 付随するL-/ε-因子を研究した。方針は, L-関数を 上の群を対称性にもつ保型形式という"関数"の積分変換で表示し,その積分の分岐因子を ホイタッカー関数を通じて 明示的に研究する。U(3)が実Lie群/p-進不分岐群の場合には,期待通りの性質を持つホイタッカー関数を同定出来た。その応用として, 標準L-関数の全ての臨界特殊値に対し,その代数性を示した。
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ガロア・タイヒミュラー被覆塔をめぐるモジュライ空間と数論
研究課題/領域番号：21340009
2009年04月
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2014年03月
日本学術振興会
科学研究費助成事業 基盤研究(B)
基盤研究(B)
中村 博昭, 角皆 宏, 石川 佳弘, 玉川 安騎男, 渡部 隆夫, 望月 新一, 松本 眞, 徳永 浩雄, 古庄 英和, 星 裕一郎, 角皆 宏, 石川 佳弘, 玉川 安騎男
配分額：16510000円
（
直接経費：12700000円
、
間接経費：3810000円
）
数論と代数幾何学の交錯する豊かな理論が期待されている分野として,遠アーベル幾何学を推進し,とりわけ代数曲線とそのモジュライ空間から生じる数論的基本群の系列がなすガロア・タイヒミュラー被覆塔について国際研究交流を推進した．特に２０１０年の１０月に京都大学数理解析研究所で第３回日本数学会季期研究所を開催し,その研究成果を論文集「Galois-Teichmueller theory and Arithmetic Geometry」として出版した．また無限遠を除いた楕円曲線の数論的基本群から生じるモノドロミー表現について研究を進め論文発表を行った．
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保型表現のε-因子と分岐成分の導手
研究課題/領域番号：21540017
2009年
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2011年
日本学術振興会
科学研究費助成事業 基盤研究(C)
基盤研究(C)
石川 佳弘, 森山 知則, 安田 正大, 宮内 通孝, 高野 啓児
配分額：4420000円
（
直接経費：3400000円
、
間接経費：1020000円
）
フェルマ予想(FLT)の様な数論の問題は,非常に広範で深い理論を駆使して研究される。FLTの証明をも含み, 70年代より数論研究の支柱たり続けているLanglandsプログラムに沿って,比較的小さい群U(3)の場合に,その分岐表現と付随するL-/ε-因子を研究した。方針は, L-関数を上の群を対称性にもつ保型形式という"関数"の積分変換で表示し,その積分の分岐因子をホイタッカー関数を通じて明示的に研究する。U(3)が実Lie群/p-進不分岐群の場合には,期待通りの性質を持つホイタッカー関数を同定出来た。
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保型性持ち上げとラングランズ双対性の整数論
研究課題/領域番号：21540013
2009年
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2011年
日本学術振興会
科学研究費助成事業 基盤研究(C)
基盤研究(C)
安田 正大, 近藤 智, 田口 雄一郎, 平之内 俊郎, 石川 佳弘, 斎藤 毅, 玉川 安騎男
配分額：3900000円
（
直接経費：3000000円
、
間接経費：900000円
）
研究代表者は山下剛氏と共同で,クリスタリン表現の法p還元の計算を,超幾何多項式等の従来使われなかった道具を導入して,今まで知られていなかった多くの場合にWach加群を具体的に構成する事により行った.また研究分担者の近藤と共同で,既約許容表現のε因子を,具体的なHecke作用素の固有値として記述し,また,既約許容表現がmiraholic型の合同部分群に関する不変ベクトルを持つための必要十分条件をさまざまな視点から記述した.その他,まだ発表等には至っていないが, Serre予想およびp進表現の理論について,本研究を通じていくつかの知見が得られた.
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グロタンディークデッサンと悲合同的タイヒミュラー被覆の数論
研究課題/領域番号：19654005
2007年
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2009年
日本学術振興会
科学研究費助成事業 挑戦的萌芽研究
挑戦的萌芽研究
中村 博昭, 鳥居 猛, 鈴木 武史, 吉野 雄二, 山田 裕史, 松崎 克彦, 廣川 真男, 石川 佳弘
配分額：3200000円
（
直接経費：3200000円
）
昨年度に基礎を確立した複素および1進の反復積分の関数等式の導出法(Wojtkowiak氏との共同研究)を延長して,具体的な実例計算をさらに検証した.とりわけ古典的な高次対数関数について知られている分布関係式(distribution relation)の1進版を導出することに成功した.分布関係式は,様々な特殊値を代入することで,高次対数関数の特殊値の間に成立する様々な関係式を組織的に生み出す重要なものであり,1進の場合にも並行してガロア群上の関数族(1-コチェイン)を統御する要となることが期待されるが,前年度までに得られた関数等式との整合性についても検証を行った.8月にケンブリッジのニュートン数理科学研究所で行われた研究集会"Anabelian Geometry"において口頭発表を行った.このときの講演に参加していたH.Gangl氏,P.Deligne氏から今後の研究指針を考える上で有用になると思われるコメントを頂戴することが出来た.また分布関係式の低次項の解消問題に関連して,有理的な道に沿った解析接続の概念にっいて考察を進める必要が生じた.こうしたテーマに関連して研究分担者の鳥居氏には,有理ホモトピー論に関する情報収集を担当していただき,また研究分担者の鈴木氏には,量子代数やKZ方程式との関連で組みひも群の数理についての情報収集を担当していただいた.以上の研究成果の一部は,共同研究者のWojtkowiak氏と協力して,"On distribution formula of complex and 1-adic polylogarithms"という仮題の草稿におおよその骨子をまとめたが,まだ完成に至っていない.周辺にやり残した問題(楕円ポリログ版など)もあり,これらについて一定の目処をつけてから公表までの工程を相談する予定になっている.
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保型表現の分岐理論の構築:分岐表現とLー関数の数論
研究課題/領域番号：19540032
2007年
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2008年
日本学術振興会
科学研究費助成事業 基盤研究(C)
基盤研究(C)
石川 佳弘, 森山 知則, 安田 正大, 吉野 雄二, 高野 啓児, 若槻 聡, 森山 知則, 安田 正大, 吉野 雄二, 高野 啓児, 若槻 聡
配分額：4420000円
（
直接経費：3400000円
、
間接経費：1020000円
）
フェルマ予想(FLT)の様な数論の問題は, 非常に広範で深い理論を駆使して研究される。FLTの証明をも含み, 70年代より数論研究の支柱たり続けているLanglandsプログラムに沿って, 比較的小さい群U(3), GSp(4)の場合に, その分岐表現と付随するL-関数を研究した。方針は, L-関数を上の群を対称性にもつ保型形式という"関数"の積分変換で表示し, その積分の分岐因子を(一般化)ホイタッカー関数を通じて明示的に研究する。表現の分岐が激しくない簡易な場合に, L-因子を計算した。分岐が激しい場合にも, 部分群からのアプローチが有効で有ることが判った。
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対称群のモジュラー表現から可積分系へ
研究課題/領域番号：19540031
2007年
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2008年
日本学術振興会
科学研究費助成事業 基盤研究(C)
基盤研究(C)
山田 裕史, 吉野 雄二, 中村 博昭, 石川 佳弘, 池田 岳, 吉野 雄二, 中村 博昭, 石川 佳弘, 池田 岳
配分額：4420000円
（
直接経費：3400000円
、
間接経費：1020000円
）
対称群のモジュラー表現論を非線型微分方程式系に応用することを念頭に置いて研究をおこなった. 対称函数の空間の新しい基底を導入し, シューア函数をこの混合基底で展開した時の係数が整数になることを発見した.
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ユニタリ群上の保型形式の数論的研究:分岐理論と大域的応用
研究課題/領域番号：16740016
2004年
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2005年
日本学術振興会
科学研究費助成事業 若手研究(B)
若手研究(B)
石川 佳弘
配分額：1800000円
（
直接経費：1800000円
）
1.本研究の目的は、ユニタリ群上の保型形式のフーリエ成分の数論的性質を表現論的手法を使って調べることである。即ち、調べるべき保型形式が生成する表現のホイタッカー模型の研究である。数論研究には、精緻な局所理論の研究が不可欠であるが、これは無限素点上の局所理論と有限分岐素点上のそれに分けられる。前者即ち、実Lie群U(2,1)の一般化ホイタッカー関数の明示公式及びそのゼータ積分は、既に筆者により研究されていた。後者については、p-進群U(3)の任意のgeneric表現に対して、p-進ホイタッカー関数の明示公式を経由しないゼータ積分の研究が、昨年度の成果として報告されている。本年度の研究計画は、
(A)明示公式のp-進アナログの構成
(B)上記の数論・分岐理論への自然な応用
であった。
2.(A)については、準分裂U(3)のSteinberg表現の明示項式及びそのゼータ積分による標準L-関数の分岐局所因子は、既に得られている。
(B)については、ゼータ積分の局所関数等式からp-進γ-因子を同定すべく、井草局所ゼータに関連付けることで、切断のintertwinerによる像の研究を行った。
これらについて、2005年12月上智大学、2006年1月数理解析研究所、2006年2月九州大学に於いて、現行方法の問題点と残された場合への拡張について近隣分野の研究者と討議した。
3.将来に残された課題として、"分岐の導手"の研究がある。これについては、現在depth 0表現の場合に、有限Lie群の表現に帰着して研究する計画が進められている。
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表現論的見地からの環論の新展開とその応用
研究課題/領域番号：13640024
2001年
-
2002年
日本学術振興会
科学研究費助成事業
基盤研究(C)
吉野 雄二, 石川 佳宏, 平野 康之, 山田 裕史, 山形 邦夫, 宮崎 充弘
配分額：3400000円
（
直接経費：3400000円
）
本研究で目標の一つとした可換局所環上のCohen-Macaulay加群の分類論に関して、それらの加群の間の退化の問題、及び分類論の一般化としてGorenstein次元0の加群の族に関する性質について大きな進展があった。
(1)退化の問題:一般に、退化の関係で加群の同型類の間には半順序を定義することができる。この半順序関係は、Bongartzが有限次元多元環上の有限次元加群の間に定義したHom orderと密接な関係がある。もし、Cohen-Macaulay加群の圏が有限型であれば、その半順序関係が、実はAuslander-Reiten列の退化によって生成されると予想される。これは退化という極めて幾何学的意味を持つ関係が、実はAuslander-Reiten quiverの組合せ論的性質から容易に計算できると主張するものである。そして、この予想が、局所環の次元が2の場合には、一般に正しいと証明することができた。また、局所環が1次元の時には、その環が整域であるという仮定のもとで、やはりこの予想が正しいと証明することができた。ただし、現時点ではこの予想が3次元以上で正しいかどうかは判明していない。これらの結果は、3次元以上の場合の考察を含めて、Journal of Algebra(2002年)に掲載された。
(2)Gorenstein次元0の加群:Gorenstein環上のCohen-Macaulay加群の分類論の一般化として、一般の局所環上のGorenstein次元が0の加群の分類がある。当所、これらの加群の族についてはCohen-Macaulay加群の族と同様の性質が成立すると考えられていたが、必ずしもそうでないことを例をもって示すことが出来た。とくに、極大イデアルの3乗が0となるようなArtin局所環については、Gorenstein次元が0であるような非自明な加群を持つための必要十分条件を与えることができた。さらに、そのような環については実際に連続パラメーターをもつ直既約加群の同型類の族を具体的に構成して、Gorenstein次元0の加群の族がcontravariantly finiteでないことがありうることを示した。この結果については、NATO Science Program, Advanced Study Workshop(ルーマニア、2002年)において報告を行い、Kluwer出版社から出版の予定である。
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実ランク1のユニタリ群上の調和的保型形式の数論的研究
研究課題/領域番号：13740014
2001年
日本学術振興会
科学研究費助成事業 奨励研究(A)
奨励研究(A)
石川 佳弘
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多様体およびグラフの幾何構造
研究課題/領域番号：12640073
2000年
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2001年
日本学術振興会
科学研究費助成事業 基盤研究(C)
基盤研究(C)
勝田 篤, 島川 和久, 田村 英男, 酒井 隆, 竹内 博, 池田 章, 石川 佳弘, 吉岡 巌
配分額：3500000円
（
直接経費：3500000円
）
主に、有限グラフのべき零被覆のランダムウォークの漸近挙動および一般化されたゲルファントスペクトル逆問題の安定性について継続研究を行った。
前者について:熱核やランダムウォークの漸近挙動は、確率論や大域解析において関心をよび、様々な研究がされてきている。ここでは、無限グラフで群の作用という対称性を持つ場合について考察している。群がアーベル群の場合は多くの研究、例えば白井、小谷、砂田らによる表現論(フーリエ展開)の、非可換化をめざしての研究である。方針は、離散べき零群をべき零リー群の格子として埋め込み、そのリー群の表現論、準古典解析およびChenの反復積分を用いて調べるというものであるが、多分野にわたる様々な概念が必要でその修得に時間がかかっているため、現状では、ブーケグラフの被覆について結果が得られているのみであり、ひき続き、研究を要する。尚、以上とは別の方法でAlexopoulos,石渡らが中心極限定理を得ているが、我々の方法は精密化や双曲力学系における閉軌道の分布等の他の問題への適用の可能性という点で利点があると考えている。
後者については、Y.V.Kurylev(ローボロ大)、M.Lassas(ネバンリンナ研究所)との数年来の共同研究である。一般化されたゲルファントスペクトル逆問題とは、境界付きリーマン多様体に対し、そのリーマン計量を再構成する問題であるが、その安定性について調べている。これまで、断面曲率の上下からの評価等の有界幾何の範囲での肯定的結果を得ていた。さらに、リッチ曲率等に対しての拡張を考察している。また、これらの結果のサーベイをまとめる折りに、上記仮定をはずした場合の安定性に関する反例をいくつか構成し、今後の問題への展望について考察した。
以上の他、酒井は、曲率と位相構造、田村、磁場での散乱理論、島川は配意空間の位相構造の研究、竹内はグラフ上のP-ラプラシアン等について研究した。
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保型形式のフーリエ展開の基礎付け及び,数論への応用,保型形式の空間の構造解明
研究課題/領域番号：10740013
1998年
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1999年
日本学術振興会
科学研究費助成事業 奨励研究(A)
奨励研究(A)
石川 佳弘
配分額：2100000円
（
直接経費：2100000円
）
1.SU(2,1)の標準表現,SU(3,1)の離散系列表現に付随する一般化ホイタッカー関数の明示公式及び一意性定理は、昨年までに筆者により得られていた。本年度の研究計画は、
(A)この結果の標準表現以外の表現及び、SU(n,1)の場合への拡張
(B)SU(2,1)保型形式のフーリエ展開の明示公式の数論への応用
であった。
2.(A)については、n=2,3の場合に、任意のコホモロジカルな表現に対し一般化ホイタッカー関数を求めた。これはテータリフトの問題と関連しており将来の研究に有用な基礎的関数を提供している。また課題(B)に於ても不可欠な役割を果たした。一般のnの場合への拡張については、離散系列表現に対して一般化ホイタッカー関数の満たす微分差分方程式系を導出した。差分条件の「端」から得られる関数と系全体の両立条件の確認及び一意性成立の十分条件の同定は今後の課題である。また、n【greater than or equal】4の場合にコホモロジ力ルな表現の一般化ホイタッカー関数の「端」での明示公式は、準備されている。残された表現:主系列表現については、その一般化ホイタッカー関数が実解析的アイゼンシュタイン級数のフーリエ展開に不可欠であるため、近い将来に研究を完成したい。
3.(B)については、標準L-関数のγ-因子に関係するRankin-Selberg型積分の計算を行った。ここで(A)の結果が使われている。また、SU(1,1)からのテータリフトによるSU(2,1)の[大きな」離散系列表現に属する保型形式の実例構成については、J.-S.Li氏の論文を検討することにより、テータ積分核の満たすべき条件を明確にした。これを満たす積分核を構成するための試験関数を捜すには、Rallis,Schiffmann両氏の1980年のモノグラフの中で使われているハイパボロイド上での微分方程式の具体的研究が有効であることが判った。実際の計算には良い座標を見つけることが肝要であり、まだ時間が掛る。構成した保型形式に対して、フーリエ係数の数論性を研究したい。
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